!!abstract,linked gloses,internal links,content,dynamic examples,...
!set gl_author=Euler, Acadmie de Versailles
!set gl_keywords=coordinates,vectors,basis,analytic_geometry,solid_geometry
!set gl_title=Coordonnes d'un vecteur de l'espace
!set gl_level=H6 Gnrale&nbsp;Spcialit
:
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L'espace est suppos muni d'un repre
\((O;\overrightarrow {i},\overrightarrow {j},\overrightarrow {k})\).
<div class="wims_thm"><h4>Thorme</h4>
Soit \(\overrightarrow {v}\) un vecteur de l'espace. <br>
Il existe un unique triplet \((x;y;z)\) de nombres rels tel que&nbsp;:
<span style="white-space:nowrap">
\(\overrightarrow{v}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}\)
.</span>
</div>
<div class="wims_defn">
<h4>Dfinitions</h4>
Soit \(\overrightarrow {v}\) un vecteur de l'espace. <br>
Les rels uniques \(x\), \(y\) et \(z\) tels que
\(\overrightarrow{v}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}\)
sont les <strong>coordonnes</strong> du vecteur \(\overrightarrow{v}\) dans la
base <span style="white-space:nowrap">
\((\overrightarrow {i},\overrightarrow {j},\overrightarrow {k})\).</span><br>
\(x\) est l'<strong>abscisse</strong>, \(y\) est l'<strong>ordonne</strong>,
\(z\) est la <strong>cote</strong> du vecteur\(\overrightarrow{v}\) dans la base
<span style="white-space:nowrap">
\((\overrightarrow {i},\overrightarrow {j},\overrightarrow {k})\).</span><br>
On note \(\overrightarrow{v}\left( \begin{array}{c}
x \\
y \\
z
\end{array} \right)\) dans la base <span style="white-space:nowrap">
\((\overrightarrow {i},\overrightarrow {j},\overrightarrow {k})\).</span>
</div>
<div class="wims_thm">
<h4>Proprits</h4>
<ul>
<li>Si \(\mathrm{A}\) et \(\mathrm{B}\) sont deux points de coordonnes
respectives \((x_\mathrm{A}; y_\mathrm{A} ; z_\mathrm{A})\) et
\((x_\mathrm{B}; y_\mathrm{B} ; z_\mathrm{B})\)
alors le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) a pour coordonnes
<span style="white-space:nowrap">
\(\left( \begin{array}{c}
x_\mathrm{B}-x_\mathrm{A} \\
y_\mathrm{B}-y_\mathrm{A} \\
z_\mathrm{B}-z_\mathrm{A}
\end{array} \right)\).</span>
</li>
<li>Si \(\overrightarrow{u}\) et  \(\overrightarrow{v}\)
sont deux vecteurs de coordonnes respectives
\(\left( \begin{array}{c}
x \\
y \\
z
\end{array} \right)\)
 et
\(\left( \begin{array}{c}
x' \\
y' \\
z'
\end{array} \right)\) alors le vecteur \(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\)
a pour coordonnes <span style="white-space:nowrap">
\(\left( \begin{array}{c}
x + x'\\
y + y' \\
z + z'
\end{array} \right)\) .</span>
</li>
<li>Si \(\overrightarrow{v}\) est un vecteur de coordonnes
\(\left( \begin{array}{c}
x \\
y \\
z
\end{array} \right)\) et \(k\) un nombre rel alors le vecteur
\(k \overrightarrow{v}\) a pour coordonnes <span style="white-space:nowrap">
\(\left( \begin{array}{c}
k x \\
k y \\
k z
\end{array} \right)\).</span>
</li>
</ul>
</div>
